中学数学で勉強する「2次関数の変化の割合」が何を表しているかを図を使って説明してみた

こんにちは！しゅんです！

いきなりですが中学の数学で2次関数を勉強すると下のような問題に出くわしますよね。

この問題を解くために謎の公式を使って解いたりします。

この公式って何なんでしょうか。そしてそもそも2次関数の変化の割合って何を表しているのでしょうか。この記事ではこれらについて図を使って説明したいと思います！

2次関数の変化の割合を理解するためにはまず最初に1次関数の変化の割合を知っておく必要があります。

変化の割合の公式

変化の割合の公式は

です。例えば上のグラフ\(y=3x+5\)の変化の割合について考えてみましょう。\(x\)が1から3まで増加するとき、\(y\)は5から11まで増加します。このとき\(x\)の増加量は\(3 – 1 = 2\)、
\(y\)の増加量は\(11 – 5 = 6\)なので、変化の割合は\(\frac{6}{2}=3\)となります。

変化の割合は直線の傾きを表す

そしてこの3という数字は直線\(y=3x+2\)の傾きと同じですよね。実はこれ偶然ではなくて、1次関数の変化の割合は直線の傾きを表します。


そして1次関数に関しては\(x\)がどこからどの範囲であっても変化の割合は一定で必ず傾きと等しくなります。

それでは2次関数の変化の割合が何を表しているのかを説明します。結論から言うと2次関数の変化の割合は

を表します。

具体的な問題を使って説明します。

問題その1

この問題では\(x\)が-1から3まで増加するときを考えろと言っていますね。\(y=3x^2\)上の\(x=-1,3\)の点の座標はそれぞれ\((-1,3),(3,27)\)です。

このとき2つの点(-1,3)、(3,27)を通る直線の傾きが変化の割合です。それでは実際に変化の割合を計算してみましょう。変化の割合は

で計算できるので、

\(\frac{27-3}{3-(-1)}=\frac{24}{4}=6\)

と計算できます。

問題その2

「1次関数の変化の割合」の所で説明したように、1次関数の変化の割合は\(x\)がどこからどこの範囲であっても同じ値を取り、直線の傾きと等しくなります。一方で2次関数の場合は\(x\)がどこからどこの範囲を動くかによって変化の割合が変わります。

ということで問われていることは

です。それでは実際に\(a\)の値を求めてみましょう。\(y=ax^2\)について\(x,y\)の増加量を計算して変化の割合を求めることもできますが、結構面倒くさいので\(a(x_1+x_2)\)の公式を使います。

2次関数\(y=ax^2\)の変化の割合：
\(a(2+4)=6a\)

1次関数\(y=3x+4\)の変化の割合：
\(3\)

この2つの値が等しいので
\(6a=3\)
\(a=\frac{1}{2}\)

と言う風に計算できます。

それでは最後にどうしてあの謎の公式が成り立つのかを説明したいと思います。

\(x\)が\(x_1\)から\(x_2\)まで増加するときを考えろと言っていますね。\(y=ax^2\)上において\(x=x_1,x_2\)の座標はそれぞれ\((x_1,ax_1^2),(x_2,ax_2^2)\)です。

このとき2つの点\((x_1,ax_1^2),(x_2,ax_2^2)\)を通る直線の傾きが変化の割合です。それでは実際に変化の割合を計算してみましょう。変化の割合は

で計算できるので、

\(\frac{ax_2^2-ax_1^2}{x_2-x_1}=\frac{a(x_2^2-x_1^2)}{x_2-x_1}=\frac{a(x_2-x_1)(x_2+x_1)}{x_2-x_1}\)
\(=a(x_1+x_2)\)

となり、謎の公式を導出することができました。

いかがでしたか。

今回の記事では二次関数の変化の割合について解説していきました。

最後までこの記事を読んでくれてありがとうございました。